Дифференцирование MATLAB

MATLAB предоставляетdiffКоманда для вычисления символического производного. В наиболее простом виде функцию, которую нужно дифференцировать, передаем в качестве параметра команде diff.

Например, давайте вычислим производную функции f(t) = 3t ² + 2t ^-2

Онлайн пример

Создайте сценарийный файл и введите следующее код-

syms t
f = 3*t^2 + 2*t^(-2);
diff(f)

После компиляции и выполнения вышеуказанного кода будет получен следующий результат

ans =
6*t - 4/t^3

Ниже приведен эквивалент Octave для вышеуказанных вычислений-

pkg load symbolic
symbols
t = sym("t");
f = 3*t^2 + 2*t^(-2);
дифференцировать(f,t)

Octave выполняет код и возвращает следующие результаты-

ans =
　　　-(4.0)*t^(-3.0)+(6.0)*t

Проверка鉴别 основных правил

Давайте кратко рассмотрим различные уравнения или правила для дифференцирования и проверим эти правила. Для этого мы напишем f'(x) для первого производного и f“(x) для второго производного.

Ниже приведены правила для различения

правило 1

Для любой функции f и g, а также для любых вещественных чисел a и b, являющихся производными этой функции

h(x) = af(x) + bg(x) о x из

h'(x) = af'(x) + bg'(x)

правило два

суммаивычитаниеПравило указывает, что если f и g — это две функции, f' и g' — их производные, то

(f + g)' = f' + g'

(f - g)' = f' - g'

правило три

продуктПравило гласит, что если f и g - это две функции, то f' и g' соответственно равны их производным, то есть

f.g) = f'.g + g'.f

Правило четвертое

делительПравило гласит, что если f и g - это две функции, то f' и g' соответственно равны их производным, то есть

(f/g)' = (f'.g - g'.f)/g²

Правило пятое

полиномиальнаяили базовое правило мощности гласит, если, тоy = f(x) = xⁿf' = n. x^(n-1)

Прямым следствием этого правила является то, что производная любой константы равна нулю, то есть, еслиy = kлюбой константе, то

f' = 0

Правило шестое

цепочкаПравило гласит, что по отношению к x, производная функции функции равна:h(x) = f(g(x))

h'(x) = f'(g(x)).g'(x)

Пример

Создайте сценарийный файл и введите следующее код-

syms x
syms t
f = (x + 2)*(x^2 + 3)
der1 = diff(f)
f = (t^2 + 3)*(sqrt(t) + t^3)
der2 = diff(f)
f = (x^2 - 2*x + 1)*(3*x^3 - 5*x^2 + 2)
der3 = diff(f)
f　=　(2*x^2　+　3*x)/(x^3　+　1)
der4 = diff(f)
f　=　(x^2　+　1)^17
der5 = diff(f)
f　=　(t^3　+　3*　t^2　+　5*t　-9)^(-6)
der6 = diff(f)

При запуске файла MATLAB показывает следующий результат-

f　=
　　　(x^2 + 3)*(x + 2)
　
　　　der1　=
　　　2*x*(x + 2) + x^2 + 3
　　
f　=
　　　(t^(1/2) + t^3)*(t^2 + 3)
　
　　　der2　=
　　　(t^2 + 3)*(3*t^2 + 1/(2*t^(1/2))) + 2*t*(t^(1/2) + t^3)
　　
f　=
　　　(x^2 - 2*x + 1)*(3*x^3 - 5*x^2 + 2)
　　
der3　=
　　　(2*x - 2)*(3*x^3 - 5*x^2 + 2) - (- 9*x^2 + 10*x)*(x^2 - 2*x + 1)
　
f　=
　　　(2*x^2 + 3*x)/(x^3 + 1)
　　
der4　=
　　　(4*x + 3)/(x^3 + 1) - (3*x^2*(2*x^2 + 3*x))/(x^3 + 1)^2
　　
f　=
　　　(x^2 + 1)^17
　　
der5　=
　　　34*x*(x^2 + 1)^16
　　
f　=
　　　1/(t^3 + 3*t^2 + 5*t - 9)^6
　　
der6　=
　　　-(6*(3*t^2 + 6*t + 5))/(t^3 + 3*t^2 + 5*t - 9)^7

Ниже приведен эквивалент Octave для вышеуказанных вычислений-

pkg load symbolic
symbols
x = sym("x");
t = sym("t");
f = (x + 2)*(x^2 + 3)　
der1 = differentiate(f,x)　
f = (t^2 + 3)*(t^(1/2) + t^3)　
der2 = differentiate(f,t)　
f = (x^2 - 2*x + 1)*(3*x^3 - 5*x^2 + 2)　
der3　=　differentiate(f,x)　
f　=　(2*x^2　+　3*x)/(x^3　+　1)　
der4　=　differentiate(f,x)　
f　=　(x^2　+　1)^17　
der5　=　differentiate(f,x)　
f　=　(t^3　+　3*　t^2　+　5*t　-9)^(-6)　
der6　=　differentiate(f,t)

Octave выполняет код и возвращает следующие результаты-

f　=
(2.0+x)*(3.0+x^(2.0))
der1　=
3.0+x^(2.0)+(2.0)*(2.0+x)*x
f　=
(t^(3.0)+sqrt(t))*(3.0+t^(2.0))
der2　=
(2.0)*(t^(3.0)+sqrt(t))*t+((3.0)*t^(2.0)+(0.5)*t^(-0.5))*(3.0+t^(2.0))
f　=
(1.0+x^(2.0)-(2.0)*x)*(2.0-(5.0)*x^(2.0)+(3.0)*x^(3.0))
der3　=
(-2.0+(2.0)*x)*(2.0-(5.0)*x^(2.0)+(3.0)*x^(3.0))+((9.0)*x^(2.0)-(10.0)*x)*(1.0+x^(2.0)-(2.0)*x)
f　=
(1.0+x^(3.0))^(-1)*((2.0)*x^(2.0)+(3.0)*x)
der4　=
(1.0+x^(3.0))^(-1)*(3.0+(4.0)*x)-(3.0)*(1.0+x^(3.0))^(-2)*x^(2.0)*((2.0)*x^(2.0)+(3.0)*x)
f　=
(1.0+x^(2.0))^(17.0)
der5　=
(34.0)*(1.0+x^(2.0))^(16.0)*x
f　=
(-9.0+(3.0)*t^(2.0)+t^(3.0)+(5.0)*t)^(-6.0)
der6　=
(-9.0)*(-9.0+(3.0)*t^(2.0)+t^(3.0)+(5.0)*t)^(-7.0)*(5.0+(3.0)*t^(2.0)+(6.0)*t)

производные экспоненциальных, логарифмических и тригонометрических функций

в таблице приведены производные常用的 экспоненциальных, логарифмических и тригонометрических функций-

Пример

Создайте сценарийный файл и введите следующее код-

syms x
y　=　Exp(x)
diff(y)
y　=　x^9
diff(y)
y　=　Sin(x)
diff(y)
y　=　Tan(x)
diff(y)
y　=　Cos(x)
diff(y)
y　=　log(x)
diff(y)
y　=　log10(x)
diff(y)
y　=　sin(x)^2
diff(y)
y　=　cos(3*x^2　+　2*x　+　1)
diff(y)
y　=　exp(x)/sin(x)
diff(y)

При запуске файла MATLAB показывает следующий результат-

y　=
　　　exp(x)
　　　ans =
　　　exp(x)
y　=
　　　x^9
　　　ans =
　　　9*x^8
　　
y　=
　　　sin(x)
　　　ans =
　　　cos(x)
　　
y　=
　　　tan(x)
　　　ans =
　　　tan(x)^2　+　1
　
y　=
　　　cos(x)
　　　ans =
　　　-sin(x)
　　
y　=
　　　log(x)
　　　ans =
　　　1/x
　　
y　=
　　　log(x)/log(10)
　　　ans =
　　　1/(x*log(10))
　
y　=
　　　sin(x)^2
　　　ans =
　　　2*cos(x)*sin(x)
　
y　=
　　　cos(3*x^2　+　2*x　+　1)
　　　ans =
　　　-sin(3*x^2　+　2*x　+　1)*(6*x　+　2)
　　
y　=
　　　exp(x)/sin(x)
　　　ans =
　　　exp(x)/sin(x)　-　(exp(x)*cos(x))/sin(x)^2

Ниже приведен эквивалент Octave для вышеуказанных вычислений-

pkg load symbolic
symbols
x = sym("x");
y　=　Exp(x)
differentiate(y,x)
y　=　x^9
differentiate(y,x)
y　=　Sin(x)
differentiate(y,x)
y　=　Tan(x)
differentiate(y,x)
y　=　Cos(x)
differentiate(y,x)
y　=　Log(x)
differentiate(y,x)
%　symbolic包不支持此功能
%y　=　Log10(x)
%differentiate(y,x)
y　=　Sin(x)^2
differentiate(y,x)
y　=　Cos(3*x^2　+　2*x　+　1)
differentiate(y,x)
y　=　Exp(x)/Sin(x)
differentiate(y,x)

Octave выполняет код и возвращает следующие результаты-

y　=
exp(x)
ans =
exp(x)
y　=
x^(9.0)
ans =
(9.0)*x^(8.0)
y　=
sin(x)
ans =
cos(x)
y　=
tan(x)
ans =
1+tan(x)^2
y　=
cos(x)
ans =
-sin(x)
y　=
log(x)
ans =
x^(-1)
y　=
sin(x)^(2.0)
ans =
(2.0)*sin(x)*cos(x)
y　=
cos(1.0+(2.0)*x+(3.0)*x^(2.0))
ans =
-(2.0+(6.0)*x)*sin(1.0+(2.0)*x+(3.0)*x^(2.0))
y　=
sin(x)^(-1)*exp(x)
ans =
sin(x)^(-1)*exp(x)-sin(x)^(-2)*cos(x)*exp(x)

Вычисление высших производных

Чтобы вычислить высшие производные функции f, мы используем грамматикуdiff(f, n).

Давайте вычислим вторую производную функции y = f(x) = x.e ^-3x

f = x*exp(-3*x);
diff(f, 2)

MATLAB выполняет код и возвращает следующий результат-

ans =
9*x*exp(-3*x) - 6*exp(-3*x)

Ниже приведен эквивалент Octave для вышеуказанных вычислений-

pkg load symbolic
symbols
x = sym("x");
f = x*Exp(-3*x);
differentiate(f, x, 2)

Octave выполняет код и возвращает следующие результаты-

ans =
(9.0)*exp(-(3.0)*x)*x-(6.0)*exp(-(3.0)*x)

Пример

В этом примере давайте решим проблему. Дана функция. Мы должны проверить, выполняется ли уравнение.y = f(x) = 3 sin(x) + 7 cos(5x)f" + f = -5cos(2x)

Создайте сценарийный файл и введите следующее код-

syms x
y = 3*sin(x)+7*cos(5*x);　　% определение функции
lhs = diff(y, 2) + y;　　　　　　　　% вычисление lhs уравнения
rhs = -5*cos(2*x);　　　　　　　　% rhs уравнения
if(isequal(lhs,rhs))
　　　disp('Да, уравнение выполняется');
else
　　　disp('Нет, уравнение не выполняется');
end
disp('Значение LHS равно:'), disp(lhs);

Когда вы запускаете файл, он показывает следующий результат-

Нет, уравнение не выполняется
Значение LHS равно:　
-168*cos(5*x)

Ниже приведен эквивалент Octave для вышеуказанных вычислений-

pkg load symbolic
symbols
x = sym("x");
y = 3*Sin(x)+7*Cos(5*x);　　　　　　　　　　　% определение функции
lhs = differentiate(y, x, 2) + y;　　% вычисление уравнения lhs
rhs = -5*Cos(2*x);　　　　　　　　　　　　　　　　　% уравнение rhs
if(lhs == rhs)
　　　disp('Да, уравнение выполняется');
else
　　　disp('Нет, уравнение не выполняется');
end
disp('Значение LHS равно:'), disp(lhs);

Octave выполняет код и возвращает следующие результаты-

Нет, уравнение не выполняется
Значение LHS равно:　
-(168.0)*cos((5.0)*x)

Найти максимумы и минимумы кривой

Если нужно искать локальные максимумы и минимумы графика, то это обычно поиск的最高点或最低点 в определенном интервале значений переменной или знака на графике функции.

Для функции y = f(x) точки на графике с нулевым наклоном называютсяstationary points({точки равновесия/критические точки}). Иначе говоря, фиксированные точки satisfy f'(x) = 0.

Чтобы найти平稳ные точки функции, которую мы дифференцируем, нам нужно установить производную равной нулю и решить уравнение.

Пример

Давайте найдем фиксированные точки функции f(x) = 2x ³ + 3x ² − 12x + 17

Следуйте следующим шагам-

Сначала давайте войдем в функцию и нарисуем ее график.

syms x
y = 2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17; % определяем функцию
ezplot(y)

MATLAB выполняет код и возвращает следующий график-

Это эквивалентный код Octave для вышеуказанного примера-

pkg load symbolic
symbols
x = sym('x');
y = inline("2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17");
ezplot(y)
print -deps graph.eps

Цель наша - найти локальные максимумы и минимумы на графике, поэтому давайте найдем локальные максимумы и минимумы в интервале [-2,2].

syms x
y = 2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17; % определяем функцию
ezplot(y, [-2, 2])

MATLAB выполняет код и возвращает следующий график-

Это эквивалентный код Octave для вышеуказанного примера-

pkg load symbolic
symbols
x = sym('x');
y = inline("2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17");
ezplot(y, [-2, 2])
print -deps graph.eps

Далее, давайте вычислим производную.

g = diff(y)

MATLAB выполняет код и возвращает следующий результат-

g =
　　　6*x^2 + 6*x - 12

Это частоты, кратные вышеуказанным вычислениям-

pkg load symbolic
symbols
x = sym("x");
y = 2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17;
g = differentiate(y, x)

Octave выполняет код и возвращает следующие результаты-

g =
　　　-12.0+(6.0)*x+(6.0)*x^(2.0)

Давайте решим функцию производной g, чтобы найти значения, при которых она становится нулевой.

s = solve(g)

MATLAB выполняет код и возвращает следующий результат-

s =
　　　1
　　　-2

Ниже приведен эквивалент Octave для вышеуказанных вычислений-

pkg load symbolic
symbols
x = sym("x");
y = 2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17;
g = differentiate(y, x)
roots([6, 6, -12])

Octave выполняет код и возвращает следующие результаты-

g =
-12.0+(6.0)*x^(2.0)+(6.0)*x
ans =
　　-2
　　　1

Это согласуется с我们的 графикой, поэтому давайте вычислим функцию f в точках критических x = 1, -2.

subs(y, 1), subs(y, -2)

MATLAB выполняет код и возвращает следующий результат-

ans =
　　　10
ans =
　　　37

Ниже приведен эквивалент Octave для вышеуказанных вычислений-

pkg load symbolic
symbols
x = sym("x");
y = 2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17;
g = differentiate(y, x)
roots([6, 6, -12])
subs(y, x, 1), subs(y, x, -2)

ans =
　　　10.0
ans =
　　　37.0-4.6734207789940138748E-18*I

Таким образом, минимальное и максимальное значение функции f(x) = 2x ³ + 3x ² − 12x + 17, в интервале [-2,2] равна 10 и 37.

решение дифференциальных уравнений

MATLAB предоставляетdsolveКоманда для решения дифференциальных уравнений.-

dsolveНаиболее простая форма команды для поиска решения одного уравнения -

dsolve('eqn')

гдеeqnЭто текстовая строка, используемая для ввода уравнений.-

Оно возвращает символическое решение с набором произвольных постоянных, которые MATLAB обозначает как C1, C2 и т.д.-

Вы также можете specify initial and boundary conditions for the problem as a comma-separated list after the equation-

dsolve('eqn','cond1', 'cond2',…)

Для использования команды dsolve производные обозначаются D. Например, уравнение f'(t) = -2 * f + cos(t) вводится как -

'Df = -2*f + cos(t)'

Высокие производные обозначаются порядком производных после D.

Например, уравнение f''(x) + 2f'(x) = 5*sin(3*x) должно быть введено как -

'D2y + 2Dy = 5*sin(3*x)'

Давайте рассмотрим пример простого дифференциального уравнения первого порядка: y' = 5*y.

s = dsolve('Dy = 5*y')

MATLAB выполняет код и возвращает следующий результат-

s =
　　　C2*exp(5*t)

Давайте возьмем другой пример дифференциального уравнения второго порядка: y'' - y = 0, y = -1, y' = 2.

dsolve('D2y - y = 0','y(0) = -1','Dy(0) = 2')

MATLAB выполняет код и возвращает следующий результат-

ans =
　　　exp(t)/2 - (3*exp(-t))/2