Полиномы MATLAB

MATLAB представляет полиномы как вектор строк, в котором коэффициенты расположены по убыванию степеней. Например, уравнение P(x) = X ⁴ + 7x ³ - 5x + 9 может быть выражено как-

p = [1 7 0 -5 9];

Вычислить полином

polyvalФункция используется для вычисления значения полинома для определенного значения. Например, чтобы вычислить полином p при x = 4, введите-

p = [1 7 0 -5 9];
polyval(p, 4)

MATLAB выполняет данные инструкции и возвращает следующий результат-

ans = 693

MATLAB также предоставляет функцию polyvalm для вычисления матричных полиномов. Матричные полиномы - это полиномы с матрицей в качестве переменной.

Например, создадим квадратную матрицу X и вычислим полином p в точке X-

p = [1 7 0 -5 9];
X = [1 2 -3 4; 2 -5 6 3; 3 1 0 2; 5 -7 3 8];
polyvalm(p, X)

MATLAB выполняет данные инструкции и возвращает следующий результат-

ans =
　　　　　　2307 - 1769 - 939 4499
　　　　　　2314 - 2376 - 249 4695
　　　　　　2256 - 1892 - 549 4310
　　　　　　4570 - 4532 - 1062 9269

Найти корни полинома

rootsФункция вычисляет корни полинома. Например, чтобы вычислить корни полинома p, введите-

p = [1 7 0 -5 9];
r = roots(p)

MATLAB выполняет данные инструкции и возвращает следующий результат-

r =
　　　-6.8661 + 0.0000i
　　　-1.4247 + 0.0000i
　　　0.6454 + 0.7095i
　　　0.6454 - 0.7095i

Эта функцияpolyявляется обратной функцией корневой функции, и возвращает коэффициенты полинома. Например-

p2 = poly(r)

MATLAB выполняет данные инструкции и возвращает следующий результат-

p2　=
　　　Столбцы 1 через 3:
　　　　　　1.00000　+　0.00000i　　　7.00000　+　0.00000i　　　0.00000　+　0.00000i
　　　Столбцы 4 и 5:
　　　　　　-5.00000　-　0.00000i　　　9.00000　+　0.00000i

Фитинг полиномиальной кривой

polyfitФункция поиска коэффициентов полинома, подходящего для набора данных в смысле наименьших квадратов. Если x и y — это два вектора, содержащие данные x и y, которые нужно сопоставить n-разному полиному, то мы можем написать полином данных, используя-

p　=　polyfit(x,y,n)

Пример

Создайте скриптовый файл и введите следующий код-

x　=　[1　2　3　4　5　6];　y　=　[5.5　43.1　128　290.7　498.4　978.67];　　　% данные
p　=　polyfit(x,y,4)　　　% Получить полином
%　Рассчитать оценочные значения polyfit в较小ном диапазоне
%　И нарисовать оценочные значения по фактическим данным для сравнения
x2　=　1:.1:6;　　　　　　　　　　
y2　=　polyval(p,x2);
plot(x,y,'o',x2,y2)
grid　on

При запуске файла MATLAB показывает следующий результат-

p　=
　　　4.1056　　-47.9607　　222.2598　-362.7453　　191.1250

И нарисовать следующую диаграмму-