English | 简体中文 | 繁體中文 | Русский язык | Français | Español | Português | Deutsch | 日本語 | 한국어 | Italiano | بالعربية
Интеграция обработка двух本质上 различных проблем.
В первом типе мы имеем производную функции и хотим найти функцию. Поэтому мы радикально меняем процесс дифференцирования. Этот обратный процесс называется обратным дифференцированием или нахождением исходной функции, или нахождениемindefinite integral。
Второй тип проблем связан с добавлением большого количества очень маленьких величин, затем приближением их к нулю по мере уменьшения大小的 количества и趋向 к бесконечности количества членов. Этот процесс приводит к определениюdefinite integral。
Определенный интеграл используется для поиска площади, объема, центра тяжести, момент инерции, работа силы и многих других приложений.
По определению, если производная функции f(x) равна f'(x), то мы говорим, что неопределенный интеграл от f'(x) относительно x равен f(x). Например, так как x 2Дифференциал (относительно x) равен 2x, поэтому можно сказать, что неопределенный интеграл от 2x равен x 2。
在符号中-
f'(x2) = 2x， 所以，
∫ 2xdx = x2.
不定积分不是唯一的，因为对于常数c的任何值，x 2 + c的导数也将是2x。
这用符号表示为-
∫ 2xdx = x2 + c。
其中，c被称为“任意常数”。
MATLAB提供了int用于计算表达式积分的命令。为了导出一个函数的不定积分的表达式，我们写：
int(f);
例如，从我们之前的示例中-
syms x int(2*x)
MATLAB выполняет эти инструкции и возвращает следующий результат-
ans = x^2
在此示例中，让我们找到一些常用表达式的积分。创建一个脚本文件并在其中键入以下代码-
syms x n int(sym(x^n)) f = 'sin(n*t)' int(sym(f)) syms a t int(a*cos(pi*t)) int(a^x)
При запуске файла он показывает следующий результат-
ans = piecewise([n == -1, log(x)], [n ~= -1, x^(n + 1)/(n + 1)]) f = sin(n*t) ans = -cos(n*t)/n ans = (a*sin(pi*t))/pi ans = a^x/log(a)
创建一个脚本文件并在其中键入以下代码-
syms x n int(cos(x)) int(exp(x)) int(log(x)) int(x^-1) int(x^5*cos(5*x)) pretty(int(x^5*cos(5*x))) int(x^-5) int(sec(x)^2) pretty(int(1 - 10*x + 9 * x^2)) int((3 + 5*x - 6*x^2 - 7*x^3)/2*x^2) pretty(int((3 + 5*x - 6*x^2 - 7*x^3)/2*x^2))
请注意，pretty函数以更易读的格式返回表达式。
При запуске файла он показывает следующий результат-
ans = sin(x) ans = exp(x) ans = x*(log(x) - 1) ans = log(x) ans = (24*cos(5*x))/3125 + (24*x*sin(5*x))/625 - (12*x^2*cos(5*x))/125 + (x^4*cos(5*x))/5 - (4*x^3*sin(5*x))/25 + (x^5*sin(5*x))/5 2 24 cos(5x) 24x sin(5x) 12x cos(5x) x cos(5x) ----------- + ------------- - -------------- + ------------ 3125 625 125 5 3 5 4 x sin(5 x) x sin(5 x) ------------- + ----------- 25 5 ans = -1/(4*x^4) ans = tan(x) 2 x (3 x - 5 x + 1) ans = - (7*x^6)/12 - (3*x^5)/5 + (5*x^4)/8 + x^3/2 6 5 4 3 7 x 3 x 5 x x - ---- - ---- + ---- + -- 12 5 8 2
По определению, определенный интеграл является пределом суммы. Мы используем определенный интеграл для нахождения площади, например, площади между кривой и осью x и между двумя кривыми. В других случаях также можно использовать определенный интеграл, в этом случае количество можно представить как предел суммы.
intЭта функция может использоваться для определения интеграла, передавая пределы интегрирования.
Вычисление
Мы пишем:
int(x, a, b)
Например, чтобы вычислить значение, мы пишем:
int(x, 4, 9)
MATLAB выполняет эти инструкции и возвращает следующий результат-
ans = 65/2
Вот эквивалентныйOctave для вышеуказанного расчета-
pkg load symbolic
symbols
x = sym("x");
f = x;
c = [1, 0];
integral = polyint(c);
a = polyval(integral, 9) - polyval(integral, 4);
display('Площадь: '), disp(double(a));Octave выполняет код и возвращает следующий результат-
Площадь: 32.500
Можно использовать функцию quad() Octave для предоставления альтернативного решения, как показано ниже:
pkg load symbolic
symbols
f = inline("x");
[a, ierror, nfneval] = quad(f, 4, 9);
display('Площадь: '), disp(double(a));Octave выполняет код и возвращает следующий результат-
Площадь: 32.500
Давайте вычислим площадь под осью x и кривой y = x 3 -2x + 5 и площадь, ограниченная координатами x = 1 и x = 2.
Необходимая площадь дана следующей формулой:
Создайте сценарий файла и введите следующий код-
f = x^3 - 2*x + 5;
a = int(f, 1, 2)
display('Площадь: '), disp(double(a));При запуске файла он показывает следующий результат-
a = 23/4 Площадь: 5.7500
Вот эквивалентныйOctave для вышеуказанного расчета-
pkg load symbolic
symbols
x = sym("x");
f = x^3 - 2*x + 5;
c = [1, 0, -2, 5];
integral = polyint(c);
a = polyval(integral, 2) - polyval(integral, 1);
display('Площадь: '), disp(double(a));Octave выполняет код и возвращает следующий результат-
Площадь: 5.7500
Можно использовать функцию quad() Octave для предоставления альтернативного решения, как показано ниже:
pkg load symbolic
symbols
x = sym("x");
f = inline("x^3 - 2*x +5");
[a, ierror, nfneval] = quad(f, 1, 2);
display('Площадь: '), disp(double(a));Octave выполняет код и возвращает следующий результат-
Площадь: 5.7500
Найдите площадь под кривой: f(x)= x 2 cos(x) представляет собой −4≤x≤9.
Создайте сценарий файла и напишите следующий код-
f = x^2*cos(x);
ezplot(f, [-4,9])
a = int(f, -4, 9)
display('Площадь: '), disp(double(a));При запуске файла MATLAB рисует график-
Вывод如下-
a = 8*cos(4) + 18*cos(9) + 14*sin(4) + 79*sin(9) Площадь: 0.3326
Вот эквивалентныйOctave для вышеуказанного расчета-
pkg load symbolic
symbols
x = sym("x");
f = inline("x^2*cos(x)");
ezplot(f, [-4,9])
print -deps graph.eps
[a, ierror, nfneval] = quad(f, -4, 9);
display('Площадь: '), disp(double(a));